Л.О. Чехов "Топологическая рекурсия: геометрия и интегрируемые системы" HD

Лекции и семинары Научно-образовательного центра Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук. Л.О. Чехов "Топологическая рекурсия: геометрия и интегрируемые системы". Москва, МИАН, осень 2016 г. Все лекции курса: http://www.mathnet.ru/conf937. Курс начнется с изучения матричных моделей, которые, с одной стороны, достаточно доступны исследованию, представляя собой конечномерные интегралы по (обычно эрмитовым) матрицам, а с другой стороны, имеют исключительно богатую структуру, подчиняясь одновременно нелинейным уравнениям интегрируемых систем и линейным дифференциальным уравнениям, происходящим из конформных симметрий. За последние 30 лет развития теории матричных моделей они нашли самые разнообразные применения – от геометрических структур на пространствах модулей римановых поверхностей до недавних работ (гипотеза Алдая–Гайотто–Тачикавы), связывающих обобщения матричных моделей с конформными блоками квантовой теории Лиувилля. Метод топологической рекурсии, исходно разработанный в применении к матричным моделям, изложение которого будет основным содержанием курса, нашел широкие применения в современной математике и математической физике, выходящие за рамки его первоначального применения в матричных моделях. Предполагаемый курс лекций, таким образом, послужит хорошим введением в современное состояние дел в этой бурно развивающейся области знания. Примерная программа: 1. Интегралы по NхN-матрицам и 1/N-разложение (разложение по родам). 2. Метод ортогональных многочленов и цепочка Тоды. 3. Конформные симметрии: условия Вирасоро и петлевые уравнения. 4. Геометрия: интегралы по пространствам модулей; матричная модель Концевича как тау-функция иерархии Кортевега–де Вриза. 5. Обобщенная модель Концевича, тау-функции иерархии Кадомцева–Петвиашвили и скэйлинговые пределы. 6. Матричные интегралы в пределе бесконечного N: свободная энергия как тау-функция Уизема–Кричевера. Уравнения Зайберга–Виттена и уравнения ассоциативности. 7. Асимптотическое разложение по 1/N и топологическая рекурсия. 8. Применение топологической рекурсии в математике и математической физике. 9. Конформные теории поля, гивенталевские разложения и когомологические теории поля с точки зрения топологической рекурсии. Литература: К сожалению учебника (пока) не существует, есть классическая книга Мехты (Mehta), переведенная на русский язык, и несколько обзоров – старых и новых. В качестве первого чтения можно порекомендовать (достаточно старые) обзоры Ginsparg and Moore, Lectures on 2D gravity and 2D string theory, Cambridge Univ. Press (1993) и А. Ю. Морозов, УФН, т. 37 (1994), 1–55. Есть также совсем новая книга Bertrand Eynard, вышедшая в издательстве Birkhäuser, – она подходит для первого ознакомления. Курс будет доступен студентам 3–5 курсов и аспирантам. Все необходимые понятия будут введены. Необходимо знание анализа многих переменных, линейной алгебры и ТФКП.