Циклоида

Помните оранжевые пластмассовые катафоты — светоотражатели, прикрепляющиеся к спицам велосипедного колеса? Прикрепим катафот к самому ободу колеса и проследим за его траекторией. Полученные кривые принадлежат семейству циклоид.Колесо при этом называется производящим кругом (или окружностью) циклоиды.Но давайте вернемся в наш век и пересядем на более современную технику. На пути байка попался камушек, который застрял в протекторе колеса. Провернувшись несколько кругов с колесом, куда полетит камень, когда выскочит из протектора? Против направления движения мотоцикла или по направлению? Как известно, свободное движение тела начинается по касательной к той траектории, по которой оно двигалось. Касательная к циклоиде всегда направлена по направлению движения и проходит через верхнюю точку производящей окружности. По направлению движения полетит и наш камушек.Помните, как Вы катались в детстве по лужам на велосипеде без заднего крыла? Мокрая полоска на вашей спине является житейским подтверждением только что полученного результата.Век XVII — это век циклоиды. Лучшие ученые изучали ее удивительные свойства.Какая траектория приведет тело, движущееся под действием силы тяжести, из одной точки в другую за кратчайшее время? Это была одна из первых задач той науки, которая сейчас носит название вариационное исчисление.Минимизировать (или максимизировать) можно разные вещи — длину пути, скорость, время. В задаче о брахистохроне минимизируется именно время (что подчеркивается самим названием: брахи — наименьшее, хрона — время, греческий). Первое что приходит на ум — это прямолинейная траектория. Давайте также рассмотрим перевернутую циклоиду с точкой возврата в верхней из заданных точек. И, следуя за Галилео Галилеем, — четвертинку окружности, соединяющую наши точки.Сделаем бобслейные трассы с рассмотренными профилями и проследим, какой из бобов приедет первым.История бобслея берет свое начало в Швейцарии. В 1924 году, во французском городе Шамони, проходят Первые зимние Олимпийские игры. На них уже проводятся соревнования по бобслею для экипажей двоек и четверок. Единственный год, когда на Олимпийских играх экипаж боба состоял из 5 человек, был 1928. С тех пор в бобслее всегда соревнуются мужские экипажи двойки и четверки. В правилах бобслея много интересного. Конечно же, существует ограничения на вес боба и команды, но существуют даже ограничения на материалы, которые можно использовать в коньках боба (передняя пара их подвижна и связана с рулем, задняя закреплена жестко). Например, радий не может использоваться при изготовлении коньков. Дадим старт нашим четверкам. Какой же боб первым приедет к финишу? Боб зеленого цвета, выступающий за команду Математических этюдов и катившийся по циклоидальной горке приходит первым!Почему же Галилео Галилей рассматривал четвертинку окружности и считал что это наилучшая в смысле времени траектория спуска? Он вписывал в нее ломанные и заметил, что при увеличении числа звеньев время спуска уменьшается. Отсюда Галилей ес