QUESTÃO 4 OBMEP 2011 SEGUNDA FASE

a) Como os triângulos HBGe ABCtêm lados paralelos, eles são semelhantes. Logo HG AC = HB AB = 20 − x 20 e segue que GH = 20 − x 20 AC = 20 − x 20 ⋅ 15 = 3 4 (20 − x) . b) 1 a solução: Construímos os triângulos IFGe JGCcomo na figura ao lado. Eles são congruentes, pois possuem um cateto de medida xe os ângulos marcados em azul têm a mesma medida; logo suas hipotenusas são congruentes, isto é, . Notamos agora que os triângulos JGCe ABCsão semelhantes, pois são retângulos e têm um ângulo comum. Logo GC x = BC AC = 25 20 = 5 4 e segue que GC = 5 4 x . Como FG = GC , temos FG = 5 4 x . Alternativamente, podemos argumentar que os triângulos IFGe ABCsão semelhantes; segue que FG x = BC AB = 25 20 = 5 4 e então FG = 5 4 x , como antes. 2 a solução:Na figura ao lado, observamos que os ângulos marcados em Ftêm a mesma medida, pois são opostos pelo vértice e, por outro lado, são iguais ao ângulo em Cpor paralelismo. A congruência dos triângulos sombreados na figura (mostrada de modo semelhante ao utilizado na 1ª solução) mostra que FK FG = , e segue que CKFGé um losango; em particular, temos CG = FG . O cálculo de FG = 5 4 x procede como na 1 a solução. 3 a solução: Observamos que o triângulo CJGé retângulo. A semelhança de CGJe ABCnos dá CJ x = 15 20 , ou seja, CJ = 3 4 x . O teorema de Pitágoras diz que CJ 2 + JG 2 = CG 2 , ou seja, CG 2 = 3 4 x       2 + x 2 e segue que CG = 5 4 x . Agora CG = FG segue como na 1 a ou na 2 a soluções. FG GC = OBMEP 2011 --2 a Fase Soluções --Nível 3 7 c) 1ª solução:Temos 3 5 (20 ) 15 3 4 4 x DF GH FG D x x x H − − − = = − − − = . Da semelhança dos triângulos ABCe DEFtiramos 15 3 20 15 15 DE DF x − = = , donde 4 (15 3 ) 3 DE x = − . A área de DEFé então 2 2 · (15 3 3 1 ( 2 ) ) DE x A x DF = − = . A figura ao lado mostra o gráfico dessa função para 0 5 x ≤ ≤ . 2ª solução: Temos . A razão de semelhança entre os triângulos DEFeABC como . Por outro lado, a área do triânguloABCé ; como a razão das áreas de triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança, segue que 2 2 15 3 2 · (15 3 ) 15 ( ) 150 3 A x x x −   = −     = , como ante